Условие
Решите уравнение x/(x − 2) + 3/(x + 2) = 8/(x² − 4).
Подсказка
Разложите x² − 4 на множители — это общий знаменатель.
После умножения на общий знаменатель обязательно сверьте корни с ОДЗ.
Показать ответ
-7
Пошаговое решение
- Раскладываем знаменатель и пишем ОДЗ
x² − 4 = (x − 2)(x + 2) — это общий знаменатель всех трёх дробей. ОДЗ: x ≠ 2 и x ≠ −2.
- Умножаем на общий знаменатель
Умножаем обе части на (x − 2)(x + 2): у первой дроби остаётся множитель x + 2, у второй x − 2. Получаем x(x + 2) + 3(x − 2) = 8.
- Решаем квадратное уравнение
x² + 2x + 3x − 6 − 8 = 0, то есть x² + 5x − 14 = 0. D = 25 + 56 = 81, √D = 9, x = (−5 + 9)/2 = 2 или x = (−5 − 9)/2 = −7.
- Отбрасываем значение вне ОДЗ
x = 2 обращает знаменатели x − 2 и x² − 4 в нуль — это посторонний корень, он появился при умножении на выражение, равное нулю. Остаётся x = −7.
- Проверяем
(−7)/(−9) + 3/(−5) = 7/9 − 3/5 = 35/45 − 27/45 = 8/45; 8/(49 − 4) = 8/45. Равенство верно.
Ответ: -7