Условие
Решите уравнение x³ − 6x² + 12x = 72.
Подсказка
Сравните левую часть с формулой куба разности (x − b)³.
Прибавьте или вычтите число из обеих частей, чтобы слева получился полный куб.
Показать ответ
6
Пошаговое решение
- Узнаём формулу куба разности
(a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³. При a = x и b = 2: 3·x²·2 = 6x², 3·x·2² = 12x, 2³ = 8. Значит, (x − 2)³ = x³ − 6x² + 12x − 8: левой части не хватает только слагаемого −8.
- Дополняем до полного куба
Вычитаем 8 из обеих частей: x³ − 6x² + 12x − 8 = 72 − 8 = 64, то есть (x − 2)³ = 64.
- Извлекаем кубический корень
64 = 4³. Разные числа имеют разные кубы, поэтому x − 2 = 4 — других вариантов нет (в отличие от квадрата, знак «±» здесь не появляется). Получаем x = 2 + 4 = 6.
- Проверяем
6³ = 216, 6·6² = 6·36 = 216, 12·6 = 72; 216 − 216 + 72 = 72. Равенство верно. Ошибка — написать x − 2 = ±4, как для квадрата, и получить лишний «корень» −2.
Ответ: 6