Условие
Решите уравнение (x² − 2x)² − 11(x² − 2x) + 24 = 0. Укажите в ответе наибольший корень.
Подсказка
Обозначьте повторяющуюся скобку новой буквой.
Для каждого найденного значения новой переменной решите своё квадратное уравнение относительно x.
Показать ответ
4
Пошаговое решение
- Замечаем повторяющееся выражение
Выражение x² − 2x входит в уравнение дважды. Если раскрыть скобки, получится уравнение четвёртой степени, которое трудно решать. Удобнее замена t = x² − 2x.
- Решаем уравнение относительно t
t² − 11t + 24 = 0. D = 121 − 96 = 25, √D = 5, t = (11 − 5)/2 = 3 или t = (11 + 5)/2 = 8. Проверка по Виету: 3 + 8 = 11, 3·8 = 24.
- Возвращаемся к x при t = 3
x² − 2x = 3, x² − 2x − 3 = 0, (x − 3)(x + 1) = 0: x = 3 или x = −1.
- Возвращаемся к x при t = 8
x² − 2x = 8, x² − 2x − 8 = 0, (x − 4)(x + 2) = 0: x = 4 или x = −2.
- Выбираем наибольший корень
Корни −2, −1, 3, 4. Наибольший равен 4. Проверка: при x = 4 имеем x² − 2x = 8 и 64 − 88 + 24 = 0. Ошибка — ответить значением t, забыв сделать обратную замену.
Ответ: 4