Условие
Решите уравнение log_2(x−3)+log_2(x+9)=6.
Подсказка
Оба аргумента должны быть положительными; более строгое условие здесь x>3.
Объедините логарифмы и введите t=x−3. Получится t(t+12)=64.
Показать ответ
7
Пошаговое решение
- Правила логарифмов
Для log_a(b) нужны a>0, a≠1 и b>0. Равенство log_a(b)=c означает b=a^c. Сумму логарифмов одного основания можно заменить логарифмом произведения только при положительности обоих аргументов. В неравенстве основание a>1 сохраняет знак, а 0<a<1 меняет его.
- Намечаем ход решения
Оба аргумента должны быть положительными; более строгое условие здесь x>3. Объедините логарифмы и введите t=x−3. Получится t(t+12)=64.
- Учитываем ограничения
ОДЗ: x>3. Сумма логарифмов равна логарифму произведения, поэтому (x−3)(x+9)=64.
- Выполняем преобразование
При t=x−3>0 имеем t²+12t−64=0, то есть (t−4)(t+16)=0.
- Учитываем ограничения
Отрицательный корень t=−16 не принадлежит ОДЗ. Остаётся t=4, откуда x=7.
Ответ: 7