Условие
Решите уравнение |x + 2| + |x − 4| = 10. Если корней несколько, в ответе укажите наименьший.
Подсказка
Отметьте на прямой точки, где выражения под модулями обращаются в нуль.
На каждом из трёх промежутков раскройте модули со своими знаками и проверьте, попал ли корень в промежуток.
Показать ответ
-4
Пошаговое решение
- Находим нули модулей
x + 2 = 0 при x = −2, x − 4 = 0 при x = 4. Эти точки делят числовую прямую на три промежутка, на каждом знаки выражений под модулями постоянны.
- Промежуток x < −2
Оба выражения отрицательны: −(x + 2) − (x − 4) = 10, то есть −2x + 2 = 10, x = −4. Число −4 действительно меньше −2 — корень подходит.
- Промежуток −2 ≤ x ≤ 4
Первое выражение неотрицательно, второе неположительно: (x + 2) − (x − 4) = 6. Получаем 6 = 10 — неверно, на этом промежутке корней нет. Смысл: сумма расстояний до точек −2 и 4 между ними равна 6.
- Промежуток x > 4
Оба выражения положительны: (x + 2) + (x − 4) = 10, 2x − 2 = 10, x = 6 > 4 — подходит.
- Выбираем наименьший корень
Корни −4 и 6. Проверка: |−4 + 2| + |−4 − 4| = 2 + 8 = 10. Наименьший корень равен −4. Ошибка — не проверить, лежит ли найденный x в своём промежутке.
Ответ: -4