Условие
Найдите сумму всех корней уравнения cos(πx/6)=−√3/2, принадлежащих отрезку [0; 30].
Подсказка
Запишите две серии x=±…+12k и для каждой найдите подходящие k.
Проверьте крайние значения k: число 31 уже выходит за отрезок.
Показать ответ
77
Пошаговое решение
- Решаем уравнение для аргумента
cos t=−√3/2 при t=±5π/6+2πk. Подставляем t=πx/6 и умножаем на 6/π: x=5+12k или x=−5+12k, k — целое.
- Отбираем корни первой серии
0≤5+12k≤30 при k=0, 1, 2: корни 5, 17, 29. При k=3 получилось бы 41>30.
- Отбираем корни второй серии
0≤−5+12k≤30 при k=1, 2: корни 7, 19. При k=0 получаем −5<0, при k=3 получаем 31>30 — оба не подходят.
- Складываем
Корни каждой серии образуют арифметическую прогрессию с разностью 12: 5+17+29=51, 7+19=26. Сумма всех корней 51+26=77.
Ответ: 77