Условие
Укажите наименьший положительный корень уравнения 2cos²(πx/3)+3cos(πx/3)−2=0.
Подсказка
Замените cos(πx/3) новой переменной и решите квадратное уравнение.
Один из корней квадратного уравнения не может быть значением косинуса.
Показать ответ
1
Пошаговое решение
- Делаем замену
Пусть t=cos(πx/3). Тогда уравнение становится квадратным: 2t²+3t−2=0. Важно помнить, что косинус принимает значения только из отрезка [−1; 1].
- Решаем квадратное уравнение
D=3²−4·2·(−2)=9+16=25, √D=5. t₁=(−3+5)/4=1/2, t₂=(−3−5)/4=−2.
- Отбрасываем лишний корень
cos(πx/3)=−2 невозможно, так как −2<−1. Остаётся cos(πx/3)=1/2.
- Решаем простейшее уравнение
πx/3=±π/3+2πk. Умножаем на 3/π: x=±1+6k, k — целое, то есть x=1+6k или x=−1+6k.
- Отбираем наименьший положительный
Положительные корни рядом с нулём: 1 (k=0 в первой серии) и −1+6=5 (k=1 во второй). Наименьший из них 1; cos(π/3)=1/2, равенство выполнено.
Ответ: 1