Условие
Решите уравнение 5^(2x−7)=3^(2x−7).
Подсказка
Разделите обе части на 3^(2x−7) — это выражение никогда не равно нулю.
Степень положительного числа, отличного от 1, равна 1 только при нулевом показателе.
Показать ответ
3,5
Пошаговое решение
- Смотрим на структуру
Основания 5 и 3 разные, а показатели одинаковые: 2x−7. Привести 5 и 3 к одному основанию нельзя, зато можно поделить одну степень на другую.
- Делим обе части на правую
3^(2x−7)>0 при любом x, поэтому деление допустимо: 5^(2x−7) : 3^(2x−7)=1, то есть (5/3)^(2x−7)=1.
- Выясняем, когда степень равна 1
Число (5/3)^t равно 1 только при t=0, потому что основание 5/3 положительно и не равно 1 (1=(5/3)⁰, а функция (5/3)^t строго возрастает).
- Находим x
2x−7=0, откуда x=7/2=3,5.
- Проверяем
При x=3,5 показатель равен 2·3,5−7=0, и обе части равны 5⁰=3⁰=1. Типичная ошибка — «сократить показатели» и написать 5=3: это неверно и корня не даёт.
Ответ: 3,5