Условие
Решите уравнение (1/4)^(x−3)=8^(x+1).
Подсказка
Запишите 1/4 и 8 как степени одного и того же числа.
Когда основания одинаковые, приравняйте показатели и решите линейное уравнение.
Показать ответ
0,6
Пошаговое решение
- Замечаем общее основание
Оба основания — степени двойки: 1/4=2^(−2) и 8=2³. Значит, обе части можно записать как степени числа 2 и сравнить показатели.
- Переписываем левую часть
(1/4)^(x−3)=(2^(−2))^(x−3)=2^(−2(x−3))=2^(−2x+6). При возведении степени в степень показатели перемножаются.
- Переписываем правую часть
8^(x+1)=(2³)^(x+1)=2^(3x+3).
- Приравниваем показатели
Функция 2^t строго возрастает, поэтому равные степени двойки имеют равные показатели: −2x+6=3x+3. Отсюда 5x=6−3=3, x=3/5=0,6.
- Проверяем
При x=0,6 показатели равны −2·0,6+6=4,8 и 3·0,6+3=4,8 — совпадают. Показательное уравнение ограничений на x не накладывает.
Ответ: 0,6