Условие
Решите уравнение 4^(1/x)=2^(x−1). Если корней несколько, в ответе укажите меньший.
Подсказка
Запишите 4 как степень двойки и примените свойство (a^m)^n=a^(m·n).
После приравнивания показателей умножьте обе части на x, помня, что x≠0.
Показать ответ
-1
Пошаговое решение
- Записываем ОДЗ
В показателе стоит дробь 1/x, поэтому x≠0. Других ограничений нет: степень с основанием 2 или 4 определена при любом показателе.
- Приводим к основанию 2
4=2², поэтому 4^(1/x)=2^(2·(1/x))=2^(2/x). Уравнение принимает вид 2^(2/x)=2^(x−1).
- Приравниваем показатели
Степени с одинаковым основанием 2 равны только при равных показателях: 2/x=x−1. Умножаем обе части на x (x≠0): 2=x²−x, то есть x²−x−2=0.
- Решаем квадратное уравнение
D=(−1)²−4·1·(−2)=1+8=9, √D=3. x₁=(1−3)/2=−1, x₂=(1+3)/2=2. Оба корня отличны от 0 и подходят.
- Проверяем и выбираем
При x=−1: 4^(−1)=1/4 и 2^(−2)=1/4. При x=2: 4^(1/2)=2 и 2^1=2. Меньший корень −1. Ошибка — записать 4^(1/x) как 2^(1/(2x)) и получить неверное уравнение.
Ответ: -1