Условие
Решите уравнение log_2((x + 5)/(x − 1))=2.
Подсказка
ОДЗ требует (x + 5)/(x − 1)>0 и x≠1.
По определению логарифма приравняйте дробь к 2^2=4, затем проверьте её знак.
Показать ответ
3
Пошаговое решение
- Правила логарифмов
Для log_a(b) нужны a>0, a≠1 и b>0. Равенство log_a(b)=c означает b=a^c. Сумму логарифмов одного основания можно заменить логарифмом произведения только при положительности обоих аргументов. В неравенстве основание a>1 сохраняет знак, а 0<a<1 меняет его.
- Намечаем ход решения
ОДЗ требует (x + 5)/(x − 1)>0 и x≠1. По определению логарифма приравняйте дробь к 2^2=4, затем проверьте её знак.
- Учитываем ограничения
ОДЗ: (x + 5)/(x − 1)>0, x≠1.
- Получаем следующий результат
По определению логарифма (x + 5)/(x − 1)=4. После умножения на знаменатель получаем линейное уравнение x + 5=4(x − 1), откуда x=3.
- Выполняем преобразование
При x=3 числитель равен 8, знаменатель — 2; оба положительны, а отношение равно 4. Корень допустим.
Ответ: 3