ЕГЭ, задание 6: Уравнения

ОДЗ: x>0. Сделайте замену t=log_2x.

После решения квадратного уравнения выполните обратную замену x=2^t и сравните два значения.

1. Правила логарифмов

   Для log_a(b) нужны a>0, a≠1 и b>0. Равенство log_a(b)=c означает b=a^c. Сумму логарифмов одного основания можно заменить логарифмом произведения только при положительности обоих аргументов. В неравенстве основание a>1 сохраняет знак, а 0<a<1 меняет его.

2. Намечаем ход решения

   ОДЗ: x>0. Сделайте замену t=log_2x. После решения квадратного уравнения выполните обратную замену x=2^t и сравните два значения.

3. Учитываем ограничения

   ОДЗ: x>0. Пусть t=log_2x. Тогда t²−5t+4=0=(t−1)(t−4).

4. Выполняем преобразование

   Имеем t=1 или t=4, поэтому x=2^1=2 или x=2^4=16. Оба корня положительны.

5. Выполняем преобразование

   Больший корень равен 16.

Ответ: 16