Условие
Решите уравнение log_7(x²+2x)=log_7(3x+6).
Подсказка
Равенство логарифмов с одним основанием сводится к равенству аргументов.
Подставьте каждый корень в оба аргумента: они должны быть строго положительны.
Показать ответ
3
Пошаговое решение
- Записываем ОДЗ
Логарифм определён только для положительного аргумента: x²+2x>0 и 3x+6>0. Решать систему заранее не обязательно — достаточно проверить найденные корни.
- Приравниваем аргументы
Логарифмы с одним основанием 7 равны, только если равны их аргументы: x²+2x=3x+6, то есть x²−x−6=0.
- Находим кандидатов
D=1+24=25, x=(1±5)/2: x=3 или x=−2.
- Проверяем x=−2
x²+2x=4−4=0 и 3x+6=−6+6=0. Оба аргумента равны нулю, а log_7(0) не существует. Равенство аргументов выполнено, но уравнение не имеет смысла — корень посторонний.
- Проверяем x=3
x²+2x=9+6=15>0 и 3x+6=15>0. Обе части равны log_7(15), корень подходит.
Ответ: 3