Условие
Решите уравнение (x − 5)/(x + 3) = (x + 1)/(x − 7). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из них.
Подсказка
Сначала выпишите, при каких x знаменатели обращаются в нуль.
Перемножьте «крест-накрест» и раскройте скобки: старшие степени сократятся.
Показать ответ
2
Пошаговое решение
- Записываем ОДЗ
Знаменатели не равны нулю: x + 3 ≠ 0 и x − 7 ≠ 0, то есть x ≠ −3 и x ≠ 7.
- Применяем основное свойство пропорции
На ОДЗ равенство двух дробей равносильно равенству «крест-накрест»: (x − 5)(x − 7) = (x + 1)(x + 3).
- Раскрываем скобки
Слева: x² − 7x − 5x + 35 = x² − 12x + 35. Справа: x² + 3x + x + 3 = x² + 4x + 3. Слагаемые x² одинаковы и взаимно уничтожаются — уравнение стало линейным.
- Решаем линейное уравнение
−12x − 4x = 3 − 35, то есть −16x = −32, x = 2. Значение не равно −3 и 7, поэтому входит в ОДЗ.
- Проверяем
Левая дробь: (2 − 5)/(2 + 3) = −3/5. Правая: (2 + 1)/(2 − 7) = 3/(−5) = −3/5. Дроби равны (−0,6). Ошибка — ждать квадратного уравнения с двумя корнями и не заметить сокращения x².
Ответ: 2