Условие
Решите уравнение 2^x=11−x.
Подсказка
Попробуйте подставить небольшие целые значения x.
Одна часть уравнения возрастает, другая убывает — сколько раз могут пересечься их графики?
Показать ответ
3
Пошаговое решение
- Понимаем, почему обычные приёмы не работают
Слева показательная функция, справа линейная. Привести их к одному основанию или к квадратному уравнению нельзя, поэтому корень ищем подбором, а единственность доказываем через свойства функций.
- Подбираем корень
Пробуем целые x: при x=2 слева 4, справа 9; при x=3 слева 2^3=8, справа 11−3=8. Значения совпали, значит x=3 — корень.
- Сравниваем поведение частей
y=2^x строго возрастает (основание 2>1), а y=11−x строго убывает (коэффициент при x отрицательный). Возрастающая и убывающая функции могут иметь не более одной общей точки.
- Делаем вывод
Левее x=3 левая часть меньше правой (4<9 при x=2), правее — больше (16>7 при x=4). Других корней нет.
Ответ: 3