Условие
Решите уравнение √(x² − 6x + 13) = 2.
Подсказка
Обе части неотрицательны — возведите уравнение в квадрат.
Получится квадратный трёхчлен, равный нулю; посмотрите, не является ли он полным квадратом.
Показать ответ
3
Пошаговое решение
- Решаем, можно ли возводить в квадрат
Правая часть — положительное число 2, левая часть (арифметический корень) тоже неотрицательна. Обе части неотрицательны, поэтому возведение в квадрат даёт равносильное уравнение.
- Возводим в квадрат
x² − 6x + 13 = 2² = 4. Отдельно проверять условие x² − 6x + 13 ≥ 0 не нужно: у любого решения подкоренное выражение равно 4, а это положительное число.
- Замечаем полный квадрат
Переносим 4 влево: x² − 6x + 9 = 0. Это (x − 3)², ведь 2·x·3 = 6x и 3² = 9. Дискриминант D = 36 − 4·9 = 0, поэтому корень один: x − 3 = 0, x = 3.
- Проверяем
При x = 3: 9 − 18 + 13 = 4, √4 = 2. Равенство выполнено. При нулевом дискриминанте квадратное уравнение имеет ровно один корень, поэтому других решений нет.
Ответ: 3