Условие
Найдите корень уравнения ∛(x² − 7x + 2) = −2. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из них.
Подсказка
Кубический корень извлекается и из отрицательного числа — ОДЗ здесь не нужна.
Возведите обе части в третью степень и решите получившееся квадратное уравнение.
Показать ответ
5
Пошаговое решение
- Выясняем, есть ли ограничения
Кубический корень определён для любого числа, в том числе отрицательного: ∛(−8)=−2, потому что (−2)³=−8. Поэтому ОДЗ — все x, а отрицательная правая часть не означает, что корней нет (так было бы только с квадратным корнем).
- Возводим обе части в куб
x² − 7x + 2 = (−2)³ = −8. Возведение в нечётную степень — равносильный переход: разные числа имеют разные кубы, поэтому посторонних корней не появится.
- Решаем квадратное уравнение
Переносим −8 влево: x² − 7x + 2 + 8 = 0, то есть x² − 7x + 10 = 0. D = 7² − 4·10 = 49 − 40 = 9, √D = 3. x = (7 − 3)/2 = 2 или x = (7 + 3)/2 = 5.
- Проверяем и выбираем больший
При x = 5: 25 − 35 + 2 = −8, ∛(−8) = −2. При x = 2: 4 − 14 + 2 = −8 — тоже подходит. Больший корень равен 5.
Ответ: 5