ЕГЭ, задание 7: Вычисления и преобразования

Разделите выражение на sin²α+cos²α — эта сумма равна 1, поэтому значение не изменится.

После деления числителя и знаменателя на cos²α останется только tg α.

1. Понимаем, чем мешает отсутствие знаменателя

   Выражение содержит только произведения двух синусов/косинусов (второй степени). Если бы была дробь, мы бы поделили числитель и знаменатель на cos²α. Здесь знаменателя нет, поэтому создадим его: запишем выражение как дробь со знаменателем 1=sin²α+cos²α.

2. Записываем дробь

   10·sin²α+20·sin α·cos α=(10·sin²α+20·sin α·cos α)/(sin²α+cos²α). Значение не изменилось, так как знаменатель равен 1.

3. Делим числитель и знаменатель на cos²α

   cos α≠0, потому что tg α существует. sin²α/cos²α=tg²α, sin α·cos α/cos²α=tg α, cos²α/cos²α=1. Получаем (10·tg²α+20·tg α)/(tg²α+1).

4. Подставляем tg α=3

   Числитель: 10·9+20·3=90+60=150. Знаменатель: 9+1=10. Значение: 150/10=15.

5. Проверяем себя

   Возьмём угол из первой четверти: sin α=3/√10, cos α=1/√10 (тогда tg α=3 и sin²α+cos²α=1). 10·(9/10)+20·(3/10)=9+6=15 — совпадает. Ошибка — «заменить» sin α на tg α без деления на sin²α+cos²α и получить 10·9+20·3=150.

Ответ: 15