ЕГЭ, задание 7: Вычисления и преобразования

Замените sin²α на 1−cos²α и найдите cos²α.

Какая формула двойного угла содержит только cos²α?

1. Оставляем одну функцию

   В условии две неизвестные величины sin²α и cos²α, но они связаны тождеством sin²α+cos²α=1. Подставим sin²α=1−cos²α — останется уравнение только относительно cos²α.

2. Находим cos²α

   3·(1−cos²α)+7·cos²α=4, то есть 3−3cos²α+7cos²α=4, откуда 4cos²α=1 и cos²α=1/4.

3. Выражаем cos 2α через cos²α

   Из cos 2α=cos²α−sin²α и sin²α=1−cos²α получаем cos 2α=2cos²α−1. Знак cos α не нужен: в формуле стоит только квадрат, поэтому четверть в условии и не указана. cos 2α=2·(1/4)−1=1/2−1=−1/2.

4. Вычисляем

   20·cos 2α=20·(−1/2)=−10. Ошибка — перепутать формулу и взять cos 2α=1−2cos²α (это формула через sin²α): тогда получится 10.

Ответ: -10