ЕГЭ, задание 7: Вычисления и преобразования

Углы удваиваются: какого множителя не хватает, чтобы применить формулу синуса двойного угла?

Умножьте и разделите выражение на sin(20°) и сворачивайте произведение по шагам.

1. Замечаем удвоение углов

   Углы 20°, 40°, 80° каждый раз удваиваются. Если бы рядом с cos(20°) стоял sin(20°), по формуле 2sin x·cos x=sin 2x произведение «сворачивалось» бы по цепочке. Поэтому умножим и разделим выражение на sin(20°)≠0: значение не изменится.

2. Сворачиваем первую пару

   16·sin(20°)·cos(20°)=8·(2sin(20°)·cos(20°))=8·sin(40°). Получаем 8·sin(40°)·cos(40°)·cos(80°).

3. Сворачиваем дальше

   8·sin(40°)·cos(40°)=4·sin(80°), затем 4·sin(80°)·cos(80°)=2·sin(160°). Итак, числитель равен 2·sin(160°), а знаменатель — sin(20°).

4. Применяем формулу приведения

   sin(160°)=sin(180°−20°)=sin(20°). Значит, выражение равно 2·sin(20°)/sin(20°)=2.

Ответ: 2