Условие
Найдите значение выражения √(a² − 10a + 25) + √(a² + 6a + 9) при −3 ≤ a ≤ 5.
Подсказка
Каждое подкоренное выражение — полный квадрат двучлена.
√(z²) = |z|; знак выражения под модулем определите по условию на a.
Показать ответ
8
Пошаговое решение
- Узнаём полные квадраты под корнями
a² − 10a + 25 = (a − 5)², потому что 2·a·5 = 10a и 5² = 25. a² + 6a + 9 = (a + 3)², потому что 2·a·3 = 6a и 3² = 9.
- Вспоминаем, чему равен корень из квадрата
√(z²) = |z|, а не z: арифметический корень всегда неотрицателен. Поэтому выражение равно |a − 5| + |a + 3|, и знаки модулей надо раскрыть по условию −3 ≤ a ≤ 5.
- Раскрываем модули
Так как a ≤ 5, число a − 5 ≤ 0, значит |a − 5| = 5 − a. Так как a ≥ −3, число a + 3 ≥ 0, значит |a + 3| = a + 3.
- Складываем
(5 − a) + (a + 3) = 8 — переменная a сократилась, значение одно и то же для всех a из отрезка. Проверка при a = 0: √25 + √9 = 5 + 3 = 8. Ошибка — написать √((a − 5)²) = a − 5 и получить 2a − 2.
Ответ: 8