Условие
Известно, что a>1, b>0 и log_a(b)=2. Найдите log_(a²b)(ab³).
Подсказка
Из log_a(b)=2 выразите b как степень a.
И основание a²b, и аргумент ab³ станут степенями одного числа a.
Показать ответ
1,75
Пошаговое решение
- Правила логарифмов
Для log_a(b) нужны a>0, a≠1 и b>0. Равенство log_a(b)=c означает b=a^c. Сумму логарифмов одного основания можно заменить логарифмом произведения только при положительности обоих аргументов. В неравенстве основание a>1 сохраняет знак, а 0<a<1 меняет его.
- Намечаем ход решения
Из log_a(b)=2 выразите b как степень a. И основание a²b, и аргумент ab³ станут степенями одного числа a.
- Выполняем преобразование
По определению логарифма b=a^2. Тогда a²b=a^4, а ab³=a^7.
- Выполняем преобразование
Основание a^4 больше единицы, аргумент положителен, поэтому логарифм определён.
- Получаем следующий результат
По формуле log_(a^m)(a^n)=n/m получаем 7/4=1,75.
Ответ: 1,75