Условие
Найдите значение выражения log_(1/9)(√27).
Подсказка
Представьте и 1/9, и √27 как степени числа 3.
Логарифм степени по основанию-степени того же числа: log_(a^m)(a^n)=n/m.
Показать ответ
-0,75
Пошаговое решение
- Записываем основание как степень тройки
9=3², поэтому 1/9=3^(−2). Дробное основание меньше 1 — это нормально, логарифм определён, потому что 1/9>0 и 1/9≠1.
- Записываем аргумент как степень тройки
27=3³, а квадратный корень — это показатель 1/2: √27=(3³)^(1/2)=3^(3/2).
- Применяем свойство log_(a^m)(a^n)=n/m
log_(3^(−2))(3^(3/2))=(3/2):(−2)=−3/4. Показатель аргумента делится на показатель основания.
- Проверяем по определению
(1/9)^(−3/4)=9^(3/4)=(3²)^(3/4)=3^(3/2)=√27 — верно. Значение отрицательное, так как основание меньше 1, а аргумент √27 больше 1. Частая ошибка — потерять минус и получить 0,75.
Ответ: -0,75