Условие
Найдите значение выражения 6·(sin⁴(25°) − cos⁴(25°))/cos(50°).
Подсказка
Представьте sin⁴x−cos⁴x как разность квадратов.
Сравните sin²x−cos²x с формулой косинуса двойного угла — обратите внимание на порядок слагаемых.
Показать ответ
-6
Пошаговое решение
- Раскладываем разность четвёртых степеней
sin⁴x−cos⁴x=(sin²x)²−(cos²x)² — это разность квадратов: (sin²x−cos²x)·(sin²x+cos²x).
- Применяем основное тождество
Вторая скобка sin²x+cos²x=1. Остаётся sin²(25°)−cos²(25°).
- Узнаём косинус двойного угла
cos 2x=cos²x−sin²x, а у нас разность в обратном порядке: sin²(25°)−cos²(25°)=−(cos²(25°)−sin²(25°))=−cos(50°).
- Сокращаем
6·(−cos(50°))/cos(50°)=6·(−1)=−6 (cos(50°)≠0). Ошибка — потерять минус и записать sin²x−cos²x=cos 2x; тогда вышло бы 6.
Ответ: -6