Условие
Найдите значение выражения sin²(15°) + sin²(30°) + sin²(45°) + sin²(60°) + sin²(75°).
Подсказка
Сложите углы попарно с краёв: что получается?
Используйте sin(90°−x)=cos x и тождество sin²x+cos²x=1.
Показать ответ
2,5
Пошаговое решение
- Ищем пары углов
15°+75°=90° и 30°+60°=90°. Угол 45° дополняет сам себя. Для таких углов удобна формула приведения sin(90°−x)=cos x.
- Заменяем синусы больших углов
sin(75°)=sin(90°−15°)=cos(15°), sin(60°)=sin(90°−30°)=cos(30°). Значит, sin²(75°)=cos²(15°) и sin²(60°)=cos²(30°).
- Применяем основное тождество в каждой паре
sin²(15°)+cos²(15°)=1 и sin²(30°)+cos²(30°)=1. Нетабличное значение sin(15°) находить не нужно.
- Добавляем средний член
sin(45°)=√2/2, sin²(45°)=2/4=1/2. Сумма: 1+1+1/2=2,5.
Ответ: 2,5