Условие
Известно, что sin α+cos α=0,5. Найдите 8·sin α·cos α.
Подсказка
Возведите обе части равенства в квадрат.
В квадрате суммы есть сумма квадратов синуса и косинуса — чему она равна?
Показать ответ
-3
Пошаговое решение
- Связываем сумму и произведение
Сам угол α находить не нужно. Если возвести сумму sin α+cos α в квадрат, появится удвоенное произведение 2sin α·cos α — именно оно и нужно.
- Возводим в квадрат
(sin α+cos α)²=sin²α+2sin α·cos α+cos²α. По основному тождеству sin²α+cos²α=1, поэтому (sin α+cos α)²=1+2sin α·cos α.
- Подставляем данное значение
0,5²=0,25, значит 1+2sin α·cos α=0,25 и 2sin α·cos α=0,25−1=−0,75.
- Находим требуемое
8·sin α·cos α=4·(2sin α·cos α)=4·(−0,75)=−3. Отрицательный результат означает, что sin α и cos α разных знаков. Ошибка — при возведении в квадрат записать (sin α+cos α)²=sin²α+cos²α, потеряв удвоенное произведение.
Ответ: -3