Условие
Найдите значение выражения p(a)/p(10 − a), если p(a) = a(10 − a)/(a − 5), где a ≠ 0, a ≠ 5, a ≠ 10.
Подсказка
Подставьте 10 − a вместо a в формулу p и упростите каждую скобку.
Сравните знаменатели a − 5 и 5 − a.
Показать ответ
-1
Пошаговое решение
- Находим p(10 − a)
Подставляем 10 − a вместо a во все места формулы: p(10 − a) = (10 − a)(10 − (10 − a))/((10 − a) − 5). Упрощаем: 10 − (10 − a) = a, а (10 − a) − 5 = 5 − a. Получаем p(10 − a) = (10 − a)·a/(5 − a).
- Сравниваем с p(a)
Числитель тот же: a(10 − a). Знаменатель 5 − a отличается от a − 5 только знаком: 5 − a = −(a − 5). Значит, p(10 − a) = −a(10 − a)/(a − 5) = −p(a).
- Находим отношение
p(a)/p(10 − a) = p(a)/(−p(a)). Условия a ≠ 0 и a ≠ 10 гарантируют, что p(a) ≠ 0, поэтому на p(a) можно сократить: результат равен −1 при любом допустимом a.
- Проверяем на числе
При a = 1: p(1) = 1·9/(−4) = −9/4, p(9) = 9·1/4 = 9/4. Отношение (−9/4) : (9/4) = −1. Типичная ошибка — решить, что выражения одинаковы, и получить 1, не заметив смены знака в знаменателе.
Ответ: -1