Условие
Функция задана формулой f(x) = 3x² − 5x + 2. Найдите значение выражения f(x + 2) − f(x − 2) при x = 1,5.
Подсказка
Подставьте x + 2 и x − 2 вместо x в формулу функции и вычтите.
Разность (x + 2)² − (x − 2)² удобно разложить как разность квадратов.
Показать ответ
16
Пошаговое решение
- Понимаем, что значит f(x + 2)
Запись f(x + 2) означает: в формулу функции вместо x подставляем выражение x + 2. Получаем f(x + 2) = 3(x + 2)² − 5(x + 2) + 2 и f(x − 2) = 3(x − 2)² − 5(x − 2) + 2.
- Вычитаем и группируем похожие части
При вычитании двойки сокращаются: 2 − 2 = 0. Остаётся 3·((x + 2)² − (x − 2)²) − 5·((x + 2) − (x − 2)). Во второй скобке (x + 2) − (x − 2) = 4, поэтому второе слагаемое равно −5·4 = −20.
- Применяем разность квадратов
(x + 2)² − (x − 2)² = ((x + 2) − (x − 2))·((x + 2) + (x − 2)) = 4·2x = 8x. Значит, f(x + 2) − f(x − 2) = 3·8x − 20 = 24x − 20.
- Подставляем x = 1,5
24·1,5 − 20 = 36 − 20 = 16. Проверка напрямую: f(3,5) = 36,75 − 17,5 + 2 = 21,25, f(−0,5) = 0,75 + 2,5 + 2 = 5,25, разность 21,25 − 5,25 = 16.
Ответ: 16