Условие
Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = −3x² + 15x − 12 и осью абсцисс.
Подсказка
Сначала найдите, в каких точках парабола пересекает ось абсцисс.
Площадь под графиком неотрицательной функции на отрезке [a; b] равна F(b) − F(a).
Показать ответ
13,5
Пошаговое решение
- Находим границы фигуры
Парабола пересекает ось абсцисс, где −3x² + 15x − 12 = 0, то есть x² − 5x + 4 = 0. Корни x = 1 и x = 4. Ветви направлены вниз, поэтому между корнями парабола лежит выше оси и фигура — это «купол» над отрезком [1; 4].
- Находим первообразную
Для f(x) = −3x² + 15x − 12 первообразная F(x) = −x³ + 7,5x² − 12x (проверка: F′(x) = −3x² + 15x − 12).
- Считаем значения на концах
F(4) = −64 + 7,5·16 − 48 = −64 + 120 − 48 = 8; F(1) = −1 + 7,5 − 12 = −5,5.
- Находим площадь
S = F(4) − F(1) = 8 − (−5,5) = 13,5. Порядок важен: из значения в правом конце вычитаем значение в левом.
Ответ: 13,5