Условие
О дифференцируемых функциях f и g известно: g(2) = 3, g′(2) = −2, f(2) = 1, f′(2) = 5, f(3) = −4, f′(3) = 4. Найдите производную функции h(x) = f(g(x)) при x = 2.
Подсказка
Производная f(g(x)) равна произведению двух множителей: f′(…) и g′(x).
Сначала найдите значение внутренней функции g при x = 2.
Показать ответ
-8
Пошаговое решение
- Записываем правило сложной функции
Для h(x) = f(g(x)) производная равна h′(x) = f′(g(x))·g′(x): производная внешней функции берётся в точке g(x), а не в точке x.
- Находим, куда попадает внутренняя функция
При x = 2 внутренняя функция равна g(2) = 3. Значит, производную f нужно брать в точке 3: f′(g(2)) = f′(3) = 4.
- Подставляем
h′(2) = f′(3)·g′(2) = 4·(−2) = −8. Значения f(2), f′(2) и f(3) здесь не нужны — они даны, чтобы проверить, понимаете ли вы, какие числа берутся в формулу.
- Проверяем себя на типичной ошибке
Если взять f′(2) вместо f′(3), получится 5·(−2) = −10 — это неверно: внешняя функция получает на вход не 2, а g(2).
Ответ: -8