Условие
Точка движется вдоль числовой оси, её положение в момент t задаётся формулой x(t)=t³−6t²+9t+2 (t — в секундах, x — в метрах). Какой путь проделает точка с момента t=0 до момента t=4? Ответ дайте в метрах.
Подсказка
Путь при движении с разворотами — сумма длин участков, на которых направление не меняется.
Направление меняется там, где скорость x′(t) меняет знак.
На каждом участке путь равен модулю разности координат в его концах.
Показать ответ
12
Пошаговое решение
- Находим скорость
v(t)=x′(t)=3t²−12t+9=3(t²−4t+3)=3(t−1)(t−3).
- Находим моменты разворота
Скорость равна нулю при t=1 и t=3. Знаки v: «+» на (0; 1), «−» на (1; 3), «+» на (3; 4). Значит, точка сначала идёт вперёд, затем назад, затем снова вперёд, и путь надо считать по участкам.
- Вычисляем координаты в концах участков
x(0)=2; x(1)=1−6+9+2=6; x(3)=27−54+27+2=2; x(4)=64−96+36+2=6.
- Складываем длины участков
Путь |6−2|+|2−6|+|6−2|=4+4+4=12 м. Типичная ошибка — вычислить x(4)−x(0)=6−2=4: это перемещение, а на участке (1; 3) точка шла назад.
Ответ: 12