Условие
Найдите значение производной функции f(x) = 5e^(x² − 3x + 2) + x² в точке x0 = 1.
Подсказка
Производная e^u равна e^u, умноженному на производную показателя u.
Вычислите показатель степени при x = 1 — он оказывается удобным.
Показать ответ
-3
Пошаговое решение
- Дифференцируем экспоненту как сложную функцию
(e^u)′ = e^u·u′. Здесь u = x² − 3x + 2, u′ = 2x − 3. Значит, (5e^(x² − 3x + 2))′ = 5e^(x² − 3x + 2)·(2x − 3).
- Записываем всю производную
f′(x) = 5e^(x² − 3x + 2)·(2x − 3) + 2x.
- Подставляем x0 = 1
Показатель степени: 1 − 3 + 2 = 0, поэтому e^0 = 1. Множитель 2·1 − 3 = −1. f′(1) = 5·1·(−1) + 2·1 = −5 + 2 = −3.
- Разбираем типичную ошибку
Если забыть множитель u′ = 2x − 3 и считать (e^u)′ = e^u, получится 5 + 2 = 7 — это неверно.
Ответ: -3