Условие
К графику функции f(x)=x²−4x+7 в точке с абсциссой x0=5 проведена касательная. Найдите площадь треугольника, который эта касательная отсекает от координатных осей.
Подсказка
Сначала запишите уравнение касательной y=f(x0)+f′(x0)·(x−x0).
Треугольник прямоугольный: его катеты лежат на осях, найдите точки пересечения касательной с осями.
Показать ответ
27
Пошаговое решение
- Находим значение функции и производной в точке касания
f(5)=5²−4·5+7=12. f′(x)=2x−4, f′(5)=2·5−4=6.
- Составляем уравнение касательной
y=f(x0)+f′(x0)·(x−x0)=12+6·(x−5)=6x−18.
- Находим точки пересечения с осями
С осью Oy (x=0): y=−18. С осью Ox (y=0): 6x=18, x=3. Катеты прямоугольного треугольника с вершиной в начале координат равны 3 и 18.
- Вычисляем площадь
S=(1/2)·3·18=27. Длина катета — модуль координаты, поэтому минус у −18 не переносится в площадь. Типичная ошибка — забыть множитель 1/2 и получить 54.
Ответ: 27