Условие
Найдите значение производной функции f(x) = 6√x − 12/x в точке x0 = 4.
Подсказка
Запишите корень и дробь 1/x как степени x.
Производная 1/x равна −1/x²; обратите внимание на двойной минус.
Показать ответ
2,25
Пошаговое решение
- Записываем слагаемые как степени
√x = x^(1/2), а 12/x = 12·x^(−1). Тогда f(x) = 6x^(1/2) − 12x^(−1), и можно пользоваться правилом (x^n)′ = n·x^(n−1).
- Дифференцируем
(6√x)′ = 6·(1/(2√x)) = 3/√x; (−12/x)′ = −12·(−1)·x^(−2) = 12/x². Значит, f′(x) = 3/√x + 12/x².
- Подставляем x0 = 4
3/√4 = 3/2 = 1,5 и 12/4² = 12/16 = 0,75. f′(4) = 1,5 + 0,75 = 2,25.
- Проверяем знак второго слагаемого
Функция −12/x возрастает при x > 0, поэтому её производная положительна. Если ошибиться со знаком и написать (1/x)′ = 1/x², получится 1,5 − 0,75 = 0,75.
Ответ: 2,25