Условие
Тело движется по прямой. На рисунке изображён график зависимости его скорости v (в м/с) от времени t (в секундах). Найдите путь, который тело прошло за первые 10 секунд движения. Ответ дайте в метрах.
Подсказка
Путь за промежуток времени равен площади фигуры между графиком скорости и осью времени.
Участок, где график ниже оси t, означает движение в обратную сторону — путь при этом тоже растёт.
Разбейте фигуру на трапеции над осью и под осью.
Показать ответ
25
Пошаговое решение
- Связываем путь с графиком скорости
Скорость — производная координаты, поэтому изменение координаты равно площади под графиком v(t). Где v<0, тело движется назад, и путь на этом участке равен площади фигуры под осью, взятой со знаком «+».
- Считаем путь, пока скорость положительна
От t=0 до t=7 с фигура над осью — трапеция: нижнее основание 7, верхнее 3 (от t=2 до t=5 скорость постоянна и равна 4 м/с), высота 4. Площадь (7+3)/2·4=20 м.
- Считаем путь при движении назад
От t=7 до t=10 с скорость отрицательна — фигура под осью тоже трапеция: основания 3 и 2, высота 2. Площадь (3+2)/2·2=5 м.
- Складываем
Путь 20+5=25 м. Типичная ошибка — вычесть вторую площадь и получить 15: так находится расстояние от начальной точки (перемещение), а не путь.
Ответ: 25