Условие
Найдите угол между касательной к графику функции f(x)=2x³−9x²+11x−4 в точке с абсциссой x0=2 и положительным направлением оси Ox. Ответ дайте в градусах.
Подсказка
Тангенс угла наклона касательной равен значению производной в точке касания.
Если производная отрицательна, касательная убывает и угол с осью Ox тупой.
Показать ответ
135
Пошаговое решение
- Связываем угол с производной
Угловой коэффициент касательной равен тангенсу угла α между касательной и положительным направлением оси Ox: tg α=f′(x0), причём 0°≤α<180°.
- Находим производную
f′(x)=6x²−18x+11: производная 2x³ равна 6x², производная −9x² равна −18x, производная 11x равна 11.
- Вычисляем f′(2)
f′(2)=6·4−18·2+11=24−36+11=−1. Значит, tg α=−1.
- Находим угол
Тангенс отрицателен, поэтому угол тупой: α=180°−45°=135°. Типичная ошибка — ответить 45°, забыв про знак: при tg α=1 касательная возрастала бы, а здесь она убывает.
Ответ: 135