Условие
Функция y=f(x) задана на отрезке [−1; 9] графиком — ломаной, изображённой на рисунке. Пользуясь рисунком, вычислите F(8)−F(1), где F(x) — какая-либо первообразная функции f(x).
Подсказка
Разность F(b)−F(a) равна определённому интегралу от f по отрезку [a; b].
Часть фигуры под осью Ox входит в интеграл со знаком «минус».
Разбейте фигуру на прямоугольники и треугольники по изломам и по точке пересечения с осью.
Показать ответ
-1
Пошаговое решение
- Переходим от первообразной к интегралу
По формуле Ньютона — Лейбница F(8)−F(1) равно интегралу от f по отрезку [1; 8]. Какую именно первообразную взять, неважно: постоянная C при вычитании сокращается. Интеграл — это площадь части фигуры над осью Ox минус площадь части под осью.
- Делим отрезок по точке пересечения с осью
Считываем по клеткам: f(1)=2, f(3)=2, f(5)=−2, f(7)=−2, f(8)=0, а в узле x=4 график пересекает ось Ox. На [1; 4] график не ниже оси, на [4; 8] — не выше.
- Считаем площадь над осью
На [1; 3] — прямоугольник 2·2=4, на [3; 4] — прямоугольный треугольник с катетами 1 и 2: 1·2/2=1. Всего 4+1=5.
- Считаем площадь под осью
Треугольник на [4; 5]: 1·2/2=1, прямоугольник на [5; 7]: 2·2=4, треугольник на [7; 8]: 1·2/2=1. Всего 1+4+1=6.
- Находим разность значений первообразной
F(8)−F(1)=5−6=−1. Типичная ошибка — сложить площади и получить 11: там, где f<0, первообразная убывает, и эта площадь вычитается.
Ответ: -1