Условие
Касательная, проведённая к графику функции y = f(x) в точке с абсциссой 5, имеет угловой коэффициент 2,5. Функция g задана формулой g(x) = f(3x − 1) − 4x. Найдите значение g′(2).
Подсказка
Угловой коэффициент касательной — это значение производной в точке касания.
Производная f(3x − 1) — это производная внешней функции, умноженная на производную внутренней.
Показать ответ
3,5
Пошаговое решение
- Переводим касательную на язык производной
Угловой коэффициент касательной в точке x0 равен производной в этой точке. Значит, f′(5) = 2,5. Больше ничего про функцию f знать не нужно.
- Дифференцируем g по правилу сложной функции
Для f(3x − 1) внешняя функция f, внутренняя 3x − 1, её производная равна 3. Поэтому (f(3x − 1))′ = 3·f′(3x − 1), а (−4x)′ = −4. Получаем g′(x) = 3·f′(3x − 1) − 4.
- Смотрим, в какой точке нужна f′
При x = 2 внутренний аргумент равен 3·2 − 1 = 5. Это как раз точка касания, где f′(5) = 2,5 известна.
- Вычисляем
g′(2) = 3·2,5 − 4 = 7,5 − 4 = 3,5. Типичная ошибка — забыть множитель 3 от внутренней функции и получить 2,5 − 4 = −1,5.
Ответ: 3,5