Условие
Функция f(x) задана на интервале (−8; 8), рисунок показывает график её производной y=f′(x). К графику f проводят касательные в точках с абсциссами из отрезка [−7; −1]. Найдите абсциссу той точки касания, для которой угловой коэффициент касательной наибольший.
Подсказка
Угловой коэффициент касательной к графику f равен значению производной в точке касания.
Найдите на заданном отрезке самую высокую точку графика производной, не забыв про концы отрезка.
Показать ответ
-4
Пошаговое решение
- Переводим вопрос на язык производной
Угловой коэффициент касательной к графику f в точке x₀ равен f′(x₀). Значит, нужно найти точку отрезка, в которой производная принимает наибольшее значение, — самую высокую точку нарисованного графика на этом отрезке.
- Смотрим на график на отрезке
Ограничимся частью графика между x=−7 и x=−1. На ней одна вершина-горб при x=−4, где f′=2.
- Сравниваем с концами отрезка
На концах: f′(−7) ниже оси Ox, f′(−1) лишь немного выше нуля — меньше одной клетки. Горб выше обоих концов, поэтому наибольшее значение f′ на отрезке — при x=−4.
- Разбираем ловушки
Самая высокая точка всего графика x=1 лежит вне отрезка. А точка, где график f′ пересекает ось сверху вниз (между −3 и −2), — это максимум функции f, а не производной: там касательная горизонтальна.
Ответ: -4