Условие
По графику производной y=f′(x), изображённому на рисунке (функция f задана на интервале (−8; 8)), выясните, сколько точек максимума имеет функция g(x)=f(x)−x.
Подсказка
Найдите g′(x) и выразите её через f′(x).
Максимум — там, где производная меняет знак с плюса на минус. Относительно какой прямой теперь смотреть на график f′?
Показать ответ
3
Пошаговое решение
- Находим производную новой функции
g′(x)=f′(x)−1. Значит, g′(x)>0 там, где f′(x)>1, и g′(x)<0 там, где f′(x)<1. Роль оси Ox для функции g играет горизонтальная прямая y=1 на графике f′.
- Вспоминаем признак максимума
В точке максимума производная меняет знак с «+» на «−». Для g это значит: график f′ пересекает прямую y=1 сверху вниз — слева от точки он выше прямой, справа ниже.
- Отбираем пересечения
Сверху вниз прямую y=1 график пересекает на промежутках (−6; −3), (−1; 1), (3; 5). Пересечения снизу вверх (на промежутках (−8; −6), (−3; −1), (1; 3)) дают точки минимума g.
- Считаем и проверяем ловушку
Точек максимума у g ровно 3. Если по привычке искать пересечения с осью Ox, получатся максимумы самой функции f — их 2, это другой ответ.
Ответ: 3