Условие
На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (−8; 8), и отмечены точки с абсциссами −7, −5, −4, −2, 0, 3. В какой из этих точек значение производной функции f(x) наибольшее? В ответе укажите абсциссу этой точки.
Подсказка
Производная в точке — это наклон касательной: где функция убывает, она отрицательна.
Среди точек, где график поднимается, найдите самый крутой подъём.
Показать ответ
-2
Пошаговое решение
- Вспоминаем смысл производной
Значение f′(x₀) — это угловой коэффициент касательной к графику f в точке x₀. Если функция возрастает, производная положительна, если убывает — отрицательна; чем круче подъём, тем больше f′.
- Отбрасываем точки с f′≤0
В точках x=−4, 0 график идёт вниз, там f′<0. В точке x=−5 вершина графика, касательная горизонтальна и f′=0. Наибольшее значение надо искать среди точек подъёма.
- Сравниваем крутизну подъёмов
Точки подъёма: x=−7, −2, 3. Около x=−2 график поднимается от y=−3 до y=3 всего за 2 клетки по x — на 6 клеток вверх. Подъёмы около других точек гораздо положе: около x=−7 — на 4 клетки вверх за 3 клетки вправо; около x=3 — на 3 клетки вверх за 3 клетки вправо.
- Делаем вывод
Касательная круче всего поднимается в точке x=−2, там производная наибольшая. Ошибка — выбрать самую высокую точку x=−5: там наибольшее значение функции, а производная равна 0.
Ответ: -2