Условие
На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x). Функция F(x)=−(1/3)x³+(5/2)x²−4x+1 — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.
Подсказка
Площадь криволинейной трапеции над отрезком [a; b] равна F(b)−F(a).
Концы отрезка — точки пересечения графика с осью Ox, их видно на рисунке.
Аккуратно со знаками: одно из значений F получится отрицательным.
Показать ответ
4,5
Пошаговое решение
- Определяем границы фигуры
Закрашенная фигура ограничена графиком f и осью Ox; по рисунку график пересекает ось в точках x=1 и x=4 и между ними лежит выше оси. Значит, это криволинейная трапеция над отрезком [1; 4].
- Применяем формулу Ньютона — Лейбница
Площадь криволинейной трапеции равна F(4)−F(1) для любой первообразной F. Производную считать не нужно — первообразная уже дана.
- Вычисляем F(4) и F(1)
F(4)=−(1/3)·64+(5/2)·16−4·4+1=−64/3+40−16+1=−64/3+25=11/3. F(1)=−(1/3)·1+(5/2)·1−4·1+1=−1/3+5/2−3=−5/6.
- Находим площадь
S=F(4)−F(1)=11/3−(−5/6)=22/6+5/6=27/6=4,5. Типичная ошибка — потерять минус при вычитании F(1)=−5/6 и получить 17/6.
Ответ: 4,5