Условие
На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой 4. Найдите значение производной функции g(x)=x·f(x) в точке x0=4.
Подсказка
Вспомните правило дифференцирования произведения двух функций.
В формулу войдут и значение f в точке, и значение f′ — оба можно найти по рисунку.
Производная в точке касания равна угловому коэффициенту касательной.
Показать ответ
8
Пошаговое решение
- Дифференцируем произведение
По правилу (u·v)′=u′·v+u·v′ с u=x и v=f(x): g′(x)=1·f(x)+x·f′(x). Значит, g′(4)=f(4)+4·f′(4), и по рисунку нужно найти два числа.
- Считываем значение функции
Точка касания лежит в узле сетки (4; 2), поэтому f(4)=2.
- Находим производную по касательной
f′(4) — угловой коэффициент касательной. Она проходит через узлы (4; 2) и (6; 5): приращение по x равно 2, по y — 3, прямая возрастает, поэтому f′(4)=3/2=1,5.
- Подставляем в формулу
g′(4)=2+4·1,5=2+6=8. Типичная ошибка — написать (x·f(x))′=x·f′(x), потеряв слагаемое f(4), и получить 6.
Ответ: 8