Условие
Найдите наименьшее значение углового коэффициента касательной к графику функции y = x³ − 6x² + 5x + 1.
Подсказка
Угловой коэффициент касательной в точке равен значению производной в этой точке.
Производная здесь — квадратичная функция. Где у параболы с ветвями вверх наименьшее значение?
Показать ответ
-7
Пошаговое решение
- Выражаем угловой коэффициент через производную
Угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой x0 равен y′(x0). Значит, нужно найти наименьшее значение функции k(x) = y′(x).
- Находим производную
k(x) = y′ = 3x² − 12x + 5. Это квадратичная функция с положительным старшим коэффициентом, её график — парабола с ветвями вверх, и наименьшее значение достигается в вершине.
- Находим вершину параболы
Абсцисса вершины: x = 12/(2·3) = 2. Можно и так: k′(x) = 6x − 12 = 0 при x = 2.
- Вычисляем наименьший угловой коэффициент
k(2) = 3·4 − 12·2 + 5 = 12 − 24 + 5 = −7. Типичные ошибки: записать в ответ абсциссу 2 или значение самой функции y(2) = −5 вместо значения производной.
Ответ: -7