Условие
На рисунке изображён график функции y=F(x) — одной из первообразных некоторой функции f, определённой на интервале (−5; 9). Найдите количество решений уравнения f(x)=0 на отрезке [−3; 7].
Подсказка
Вспомните, как связаны функция и её первообразная: F′(x)=f(x).
f(x)=0 там, где касательная к графику F горизонтальна.
Точки пересечения графика F с осью Ox здесь ни при чём.
Показать ответ
4
Пошаговое решение
- Переводим вопрос на язык графика F
F — первообразная функции f, значит, F′(x)=f(x). Уравнение f(x)=0 равносильно F′(x)=0: нужны точки, в которых касательная к графику F горизонтальна.
- Находим такие точки на графике
На гладком графике касательная горизонтальна в вершинах «горок» и «впадин» — в точках максимума и минимума F. На рисунке это x=−4, −1, 2, 4, 6, 8; на участках между ними график строго возрастает или строго убывает, и производная там не равна нулю.
- Отбираем точки отрезка
Отрезку [−3; 7] принадлежат x=−1, 2, 4, 6. Точки x=−4, 8 лежат вне отрезка.
- Считаем решения
Получаем 4 решения уравнения f(x)=0. Типичная ошибка — считать точки пересечения графика F с осью Ox: там равна нулю сама F, а не её производная f.
Ответ: 4