Условие
Найдите значение производной функции f(x) = (2x + 5)·ln(x − 2) в точке x0 = 3.
Подсказка
Функция — произведение двух множителей; вспомните правило (u·v)′.
Чему равен логарифм единицы?
Показать ответ
11
Пошаговое решение
- Применяем правило произведения
(u·v)′ = u′·v + u·v′. Здесь u = 2x + 5, u′ = 2; v = ln(x − 2), v′ = 1/(x − 2) (производная внутренней функции x − 2 равна 1).
- Записываем производную
f′(x) = 2·ln(x − 2) + (2x + 5)·(1/(x − 2)) = 2·ln(x − 2) + (2x + 5)/(x − 2).
- Подставляем x0 = 3
ln(3 − 2) = ln 1 = 0, поэтому первое слагаемое равно нулю. Второе: (2·3 + 5)/(3 − 2) = 11/1 = 11. Итак, f′(3) = 11.
- Разбираем типичную ошибку
Производная произведения не равна произведению производных: 2·(1/(3 − 2)) = 2 — неверный ответ.
Ответ: 11