Условие
На рисунке изображён график функции y=f(x), составленный из отрезков. Функция F(x) — одна из первообразных функции f, причём F(0)=5. Найдите F(6).
Подсказка
Разность F(b)−F(a) равна площади под графиком f на отрезке [a; b], если график выше оси Ox.
Разбейте фигуру вертикальными линиями в точках излома на прямоугольник и трапеции.
Не забудьте, что F(0) не равно нулю.
Показать ответ
20
Пошаговое решение
- Связываем первообразную с площадью
По формуле Ньютона — Лейбница F(6)−F(0) равно интегралу от f по отрезку [0; 6]. На этом отрезке график лежит выше оси Ox, поэтому интеграл равен площади фигуры между графиком и осью Ox от x=0 до x=6.
- Разбиваем фигуру на части по изломам графика
Изломы графика в узлах сетки при x=2 и x=4. Считываем по клеткам ординаты: f(0)=3, f(2)=3, f(4)=1, f(6)=4.
- Считаем площади частей
На [0; 2] — прямоугольник: 2·3=6. На [2; 4] — трапеция с основаниями 3 и 1 и высотой 2: (3+1)/2·2=4. На [4; 6] — трапеция с основаниями 1 и 4: (1+4)/2·2=5. Всего 6+4+5=15.
- Находим F(6)
F(6)=F(0)+15=5+15=20. Типичная ошибка — ответить 15: это только приращение F(6)−F(0), а значение F(0)=5 ещё нужно прибавить.
Ответ: 20