Условие
На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (−8; 8). Найдите количество точек на отрезке [−5; 5], в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y=5 или совпадает с ней.
Подсказка
Какой угловой коэффициент у прямой y=5 и чему тогда равна производная в точке касания?
Где на графике функции касательная горизонтальна? Не забудьте ограничиться заданным отрезком.
Показать ответ
4
Пошаговое решение
- Переводим условие на язык производной
Прямая y=5 горизонтальна, её угловой коэффициент равен 0. Касательная параллельна ей, если её угловой коэффициент тоже 0, то есть f′(x₀)=0. Число 5 на ответ не влияет: важен только наклон.
- Ищем горизонтальные касательные на графике f
На нарисованном графике функции касательная горизонтальна в вершинах — точках, где подъём сменяется спуском или спуск подъёмом. На участках монотонности наклон касательной не равен нулю.
- Отбираем вершины на отрезке
Вершины графика: x=−6, −4, −1, 1, 3, 6. На отрезок [−5; 5] попадают x=−4 (минимум); x=−1 (максимум); x=1 (минимум); x=3 (максимум), а вершины x=−6, 6 лежат вне отрезка.
- Считаем и проверяем ловушки
Точек 4. Если забыть про отрезок и взять все вершины, получится 6. Точки пересечения графика с прямой y=5 или с осью Ox здесь ни при чём: нужна касательная, параллельная прямой, а не общие точки графика с ней.
Ответ: 4