Условие
Касательная к графику функции y = x³ − 3x² + 2x + 1 параллельна прямой y = 11x − 4. Найдите абсциссу точки касания, если известно, что она отрицательна.
Подсказка
Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания.
Приравняйте производную к угловому коэффициенту данной прямой и учтите условие на знак.
Показать ответ
-1
Пошаговое решение
- Переводим параллельность на язык производной
Параллельные прямые имеют равные угловые коэффициенты. У прямой y = 11x − 4 он равен 11, а у касательной в точке x0 он равен y′(x0). Значит, y′(x0) = 11.
- Находим производную
y′ = 3x² − 6x + 2. Получаем уравнение 3x² − 6x + 2 = 11, то есть 3x² − 6x − 9 = 0, или x² − 2x − 3 = 0.
- Решаем уравнение
По теореме Виета корни x = 3 и x = −1 (их сумма 2, произведение −3).
- Отбираем корень
По условию абсцисса отрицательна, поэтому подходит x0 = −1. Касательная в этой точке: y(−1) = −5, y = 11(x + 1) − 5 = 11x + 6 — она действительно параллельна данной прямой и не совпадает с ней.
Ответ: -1