Условие
Функция задана формулой f(x) = 3tg 2x − 5x на интервале (−π/4; π/4). Чему равен тангенс угла наклона касательной к её графику, проведённой в точке с абсциссой π/8?
Подсказка
Тангенс угла наклона касательной равен производной в точке касания; (tg u)′ = u′/cos² u.
Сначала найдите 2x0, а затем квадрат косинуса этого угла.
Показать ответ
7
Пошаговое решение
- Связываем наклон касательной с производной
Тангенс угла наклона касательной в точке x0 равен f′(x0). Для производной тангенса: (tg u)′ = u′/cos² u. Здесь u = 2x — внутренняя функция, её производная равна 2.
- Дифференцируем
(3tg 2x)′ = 3·(2/cos² 2x) = 6/cos² 2x; (−5x)′ = −5. Значит, f′(x) = 6/cos² 2x − 5.
- Подставляем x0 = π/8
2x0 = π/4, cos(π/4) = √2/2, cos²(π/4) = 2/4 = 1/2. Тогда 6/cos²(π/4) = 6 : (1/2) = 12, и f′(π/8) = 12 − 5 = 7.
- Разбираем типичную ошибку
Если забыть множитель 2 от внутренней функции, получится 3 : (1/2) − 5 = 6 − 5 = 1. Другая ошибка — взять производную тангенса со знаком минус или через синус: (tg x)′ = 1/cos² x, а не −1/cos² x и не 1/sin² x.
Ответ: 7